МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА"
EMBED Word.Picture.8
ІТЕРАЦІЙНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ
ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
Лабораторна робота № 3
з курсу
" Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем "
Виконав:
Студент гр. ІБ-1
Львів – 2007
Мета роботи – ознайомлення з ітераційними методами розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь.
1.Короткі теоретичні відомості.
Ітераційні методи розв’язування систем лінійних
алгебраїчних рівнянь EMBED Equation.3
До ітераційних методів належать: метод простої ітерації, метод Зейделя, метод верхньої релаксації та інші.
Метод простої ітерації.
Нехай дано лінійну систему
EMBED Equation.3 (1)
Розглянемо матриці
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Тоді систему (1) можна записати у вигляді матричного рівняння
EMBED Equation.3 (2)
Будемо вважати, що діагональні коефіцієнти EMBED Equation.3 (і = 1, 2,…, n).
Розв’яжемо перше рівняння системи (1) відносно EMBED Equation.3 , друге відносно EMBED Equation.3 і т.д. Тоді одержимо еквівалентну систему
EMBED Equation.3 (3)
де EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , при EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 , при EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3
Іноді кажуть, що система (3) зведена до нормального вигляду.
Введемо матриці та
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Систему (3) запишемо у вигляді
EMBED Equation.3 (4)
Систему (3) будемо розв’язувати методом послідовних наближень. За нульове наближення позначимо, наприклад, стовпчик вільних членів EMBED Equation.3 . Далі послідовно будуємо матриці-стовпці:
EMBED Equation.3 – перше наближення
EMBED Equation.3 – друге наближення і т.д.
Будь-яке (k + 1)-е наближення обчислюється за формулою:
EMBED Equation.3 , (k = 0, 1, 2, …) (5)
В розгорнутому вигляді EMBED Equation.3 .
Якщо послідовність наближень EMBED Equation.3 має границю
EMBED Equation.3 , (6)
то ця границя є розв’язком системи (3).
На практиці ітераційний процес припиняють, коли EMBED Equation.3 , де – гранична абсолютна похибка.
Приклад. Розв’язати систему методом простої ітерації:
EMBED Equation.3 .
Зведемо систему до нормального вигляду
EMBED Equation.3 (7)
або в матричній формі
EMBED Equation.3 (8)
За нульові наближення коренів системи приймаємо
EMBED Equation.3 .
Підставляємо ці значення в праві частини рівняння (7). Одержимо перші наближення коренів
EMBED Equation.3
Далі знаходимо другі і треті наближення коренів
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Таким чином, EMBED Equation.3 , ( EMBED Equation.3 ) – метод простої ітерації.
Умови збіжності ітераційного процесу
Нехай задано зведена до нормального вигляду система лінійних рівнянь
EMBED Equation.3
Умова збіжності: якщо сума модулів елементів рядків або модулів елементів стовпців матриці α менша ніж 1, то процес ітерації для даної системи збігається до єдиного розв’язку незалежно від вибору вектора початкових наближень.
Для системи
EMBED Equation.3
або EMBED Equation.3 ,
де EMBED Equation.3 – сума модулів по стовпцях
EMBED Equation.3
Аналогічно можна було б перевірити виконання умови збіжності, беручи суми модулів елементів рядків.
Наведена вище умова являється достатньою, але не необхідною. Це означає, що якщо умова виконується, то процес буде збіжним. Коли ж умова не виконується, то це ще не означає, що процес буде розбіжним.
Для системи лінійних рівнянь, заданих у вигляді
EMBED Equation.3 ,
метод простої ітерації збігається, якщо модулі діагональних коефіцієнтів EMBED Equation.3 для кожного рівняння системи більші, ніж суми модулів всієї реш...
